日期：2017-2-10（原创文章,禁止转载）
无限循环小数0999…为什么等于1？, 我初数书看"限循环数化数" 用0.999…化10x-x=9.999…-0.999…x=1疑问完备实数系循环数0.999...写数、数或数表示等于1实数说0.999...所表示数与1相同期该等式职业数家所接受并教科书讲授 简介 0.999...数系统数些简单0.999...=1证明都依赖于系统便算术性质部数算术——加、减、乘、除及比较操作都与整数差与整数任何两限数要数字同数值定同特别任何形泰安哪家医院可以治好癫痫0.99...4数其限9都严格于1 误解0.999......（省略号）意义0.999...=1误解其原省略号用与语言0.99...9用同0.99...9省略号意味着限部省略掉用表示循环数候...则意味着限部省略掉能用极限数概念阐释0.999...所表示实数收敛数列（0.90.990.9990.9999...）极限0.999...数列极限面讲于0.999...=1等式直观 与整数限数情况数用许种其表示例使用数1 3=2 6数能用两种限数表示两种种定含穷9另外种则定某位始全零 0.999...=1许证明各同严密性严密证明简单说明考虑两实数相等且仅差等于零部都同意0.999...与0差算存非（趋近零）考虑收敛数列我证明差定于任何数证明（详细内容参见阿基米德原理）唯具性质实数零由于差零知10.999...相等用相同理由解释 0.333...=1 30.111...=1 9等等 证明 推想 0.999...否1若使用减直式计算（数点列五位五位省略）： 1.00000 — 德阳专业癫痫医院0.99999 —————— 0.00000 结0.000...0.0限循环数点五位直填0始终找位填11.(0)-0.(9)=0.(0)故1=0.(9) 数 限数限数必要延伸其原用表示数用除像1 3简单整数除便变循环数0.333...其穷数字3利用数快能0.999...=1证明用3乘 0.333...每3便9所3×0.333...等于0.999...3×1 3等于1所0.999...=1 证明另外种形式用1/9=0.101...乘8数 数 更加早期形式基于程：数 由于两程都确根据相等关系传递性质0.999...定等于1类似2/2=1且2/2=0.999...所0.999...定等于2 位数操作 另外种证明更加适用于其循环数数乘10其数字变数点向右移位10×0.999...等于9.999...比原数9 考虑9.999...减0.999...我位位减；数点每位结都9-90两者数点数目均0.999...故互消结数点零步骤用代数设0.999...=c则10c c=99c=9等式两端除9便证：d=1用系列程表示数 两证明位数操作确性并需要盲目相信需视公理；数所表示数间基本关系关系用几等价表示已经规定0.999...1.000...都表示相同数 实数析 由于0.999...问题并影响数式发展我暂缓进行研究直证明实数析标准定理止其要求要刻划所能表示数实数特征由选择符号、构整数部限数字、数点及构数部系列数字组讨论0.999...目我整数部概括b0并忽略负号数展式具形式：数 数部与整数部整数部能限数字数部则穷数字点至关重要进位制所4004504十倍0.055则0.55十 穷级数数列1/3=0.333……3*1/3=3*0.333……33 左右都乘3 1=0.999… 其实理论我总觉差0.00000……001我说清楚 王元 白勺 页 囧循环小数0.999 在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成数学、数学或数学，表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。 简介 0.999...是一个小数系统中的数，一些最简单的0.999...=1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大部分的小数算术——加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，操作方法都与整数差不多。与整数一样，任何两个有限小数只要数字不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形为0.99...4的数，其中只有有限个9，都是严格小于1的。 误解0.999...中的“...”（省略号）的意义，是对0.999...=1的误解的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的，0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，“...”则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。这样，“0.999...”所表示的实数，是收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，...）的极限。“0.999...”是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999...=1这个等式就很直观了。 与整数和有限小数的情况不一样，一个数也可以用许多种其它的方法来表示。例如，如果使用分数，1 3=2 6。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定含有无穷多个9，而另外一种则一定从某一位开始就全是零。 0.999...=1有许多证明，它们各有不同的严密性。一个严密的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数是相等的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999...与0的差，就算存在也是非常的小（趋近零）。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德原理），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知1和0.999...是相等的。用相同的理由，也可以解释为什么 0.333...=1 3，0.111...=1 9，等等。 证明 推想 0.999...是否为1？若使用减法直式计算（小数点后只列出五位，五位后省略）： 1.00000 — 0.99999 —————— 0.00000 结果为0.000...，也就是0.0有限循环。因为小数点后五位之后还会一直填上0，始终无法找到最后一位来填上1。1.(0)-0.(9)=0.(0)，故1=0.(9)。 分数 无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像1 3的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333...，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个0.999...=1的证明。用3乘以 0.333...中的每一个3，便得到9，所以3×0.333...等于0.999...。而3×1 3等于1，所以0.999...=1。 这个证明的另外一种形式，是用1/9=0.101...乘以8。数学 小数 一个更加早期的形式，是肇庆十大癫痫病医院基于以下的方程：数学 由于两个方程都是正确的，因此根据相等关系的传递性质，0.999...一定等于1。类似地，2/2=1，且2/2=0.999...。所以，0.999...一定等于2。 位数操作 另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10×0.999...等于9.999...，它比原来的数大9。 考虑从9.999...减去0.999...。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9-9，也就是0。两者小数点后的数目均为0.99化验检查9...故可互消，结果为小数点后为零。最后一个步骤用到了代数。设0.999...=c，则10c c=9，也就是9c=9。等式两端除以9，便得证：d=1。用一系列方程来表示，就是数学 以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数。 实数分析 由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999...的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：数学 小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以400中的4是50中的4的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。 无穷级数和数列 更多资料：小数表示法 也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：数学 对于0.999...来说，我们可以使用等比级数的有力的收敛定理： 如果|r|能说详细点我问题兴趣..
